Page 109 - 4443

Поняття про степеневі ряди в комплексній області. Формули Ейлера

Означення 16.2. Круг радіуса R, де 0 < R < +∞, з центром у початку коорди-
нат, всередині якого степеневий ряд (16.5) абсолютно збіжний, а зовні якого розбі-
жний, навивають кругом збіжності цього ряду, а число R — радіусом збіжності. ✓

Якщо ряд (16.5) збіжний лише в точці z = 0, то вважають R = 0, а якщо ряд (16.5) збіжний
в усій площині, то R = +∞.
Круг збіжності ряду (16.4) матиме центр в точці z = z 0 . Радіус збіжності рядів (16.4) і
(16.5) можна знаходити так само, як і для рядів з дійсними числами. На межі круга збіжності,
тобто в точках z, де |z| = R, залежно від конкретних випадків ряд може бути як збіжним, так
і розбіжним. Всередині круга збіжності ряд (16.5) має властивості, аналогічні властивостям
степеневих рядів дійсної змінної.
Сума степеневого ряду в крузі його збіжності є деякою комплексною функцією комплексної
змінної z; такі функції називаються аналітичними.

∞
∑ z n
Приклад 16.4. Дослідити на збіжність степеневий ряд (n+1) 2 . ,
n=0

Розв’язання. Оскільки

n+1 2
u n+1 |z| (n + 1)
lim = lim = |z|,
n
n→∞ |z| (n + 2) 2
n→∞ u n
то за ознакою д’Аламбера ряд збіжний у крузі |z| < 1.
При |z| = 1 маємо збіжний ряд, бо ряд

∞
∑ 1 1 1
= 1 + + + . . .
(n + 1) 2 2 2 2 3
n=0
є збіжним (узагальнений гармонічний ряд, в якому α = 2 > 1). Отже, областю збіжності заданого ряду є
значення z, для яких |z| ≤ 1.

За допомогою рядів в комплексній області узагальнимо поняття показникової та тригоно-
метричних функцій на випадок комплексної змінної та доведемо формули Ейлера, які уже зу-
стрічались раніше.
x
Розглянемо розвинення у степеневий ряд функції e :
x x 2 x n
x
e = 1 + + + . . . + + . . . , x ∈ (−∞, +∞). (16.6)
1! 2! n!
Якщо дійсну змінну x замінити комплексною змінною z, матимемо ряд

z z 2 z n
z
e = 1 + + + . . . + + . . . , z ∈ (−∞, +∞). (16.7)
1! 2! n!
Оскільки
u n (n + 1)!
R = lim = lim = lim (n + 1) = ∞,
n!
n→∞ u n+1 n→∞ n→∞
то ряд (16.7) є абсолютно збіжним на всій комплексній площині. Позначимо його суму через
z
e . Отже, за означенням для довільного комплексного числа
z z 2 z n
z
e = 1 + + + . . . + + . . . , |z| < ∞. (16.8)
1! 2! n!
109