Page 108 - 4443

Застосування степеневих рядів

Маємо

2
2
3
y(1) = −1, y (1) = 1 + (−1) = 0; y = 2x + 3y · y ; y (1) = 2;
′′
′
′′
′
′ 2
′′′
′′′
y = 2 + 6y(y ) + 3y y , y (1) = 8.
2 ′′
Отже,
2 8 4
3
2
3
2
y(x) ≈ −1 + (x − 1) + (x − 1) = −1 + (x − 1) + (x − 1) .
2! 3! 3
Поняття про степеневі ряди в комплексній області. Формули Ей-
лера

Означення 16.1. Ряд виду

∞
∑
2
n
n
a 0 + a 1 (z − z 0 ) + a 2 (z − z 0 ) + · · · + a n (z − z 0 ) + . . . = a n (z − z 0 ) , (16.4)
n=0 ✓
де z = x + iy — комплексна змінна, z 0 , a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . — сталі комплексні числа,
називається степеневим рядом у комплексній області.

При z 0 = 0 з ряду (16.4) дістанемо ряд за степенями z
∞
∑
2
n
n
a 0 + a 1 z + a 2 z + · · · + a n z + · · · = a n z . (16.5)
n=0
Збіжність рядів (16.4) та (16.5) відповідно в точках z = z 0 та z = 0 очевидна. Під час дослі-
дження цих рядів на збіжність в інших точках комплексної площини користуються теоремою
Абеля. Сформулюємо її.

Теорема 16.1.

Якщо ряд (16.5) збіжний в точці z = z 0 ̸= 0, то він абсолютно збіжний і при всіх
значеннях z, для яких |z| < |z 0 |.
Якщо ряд (16.5) розбіжний в точці z = z 1 , то він розбіжний і при всіх значеннях z,
для яких |z| > |z 1 |. ⋆

Доведення цієї теореми таке саме, як і для степеневих рядів в дійсній області. Розглянемо
геометричне тлумачення теореми Абеля для ряду (16.5). Оскільки для змінної z = x + iy значе-
√
2
2
2
2
ння |z| = x + y |, то нерівність |z| ≤ |z 0 |, або x +y < |z 0 | , у комплексній площині означає
2
сукупність точок z, які містяться всередині круга радіуса |z 0 | з центром у початку координат.
Аналогічно нерівність |z| > |z 1 | геометрично означає сукупність точок z комплексної пло-
щини, які лежать поза кругом радіуса |z 1 | з центром у початку координат. Отже, якщо z 0 —
точка збіжності ряду (16.5), то цей ряд буде абсолютно збіжним у всіх внутрішніх точках круга
|z| < |z 0 |. Якщо |z 1 | — точка розбіжності ряду (16.5), то цей ряд буде розбіжним у всіх точках,
поза кругом |z| > |z 1 |.
З теореми Абеля випливає існування такого числа R, що для всіх |z| < R степеневий ряд
(16.5) збіжний, а при |z| > R розбіжний.

108