Page 107 - 4443

Наближене інтегрування диференціальних рівнянь

який задовольняє початкову умову y(x 0 ) = y 0 .
Припустимо, що шуканий розв’язок рівняння (16.1) в околі точки x 0 , в якій задані початкові
умови, можна розвинути в ряд
′
y (x 0 ) y (x 0 ) y (n) (x 0 )
′′
2
n
y(x) = y(x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + . . . + (x − x 0 ) + . . . . (16.2)
1! 2! n!
Нам треба знайти y(x 0 ), y (x 0 ), y (x 0 ), . . . . Значення y(x 0 ) = y 0 задано початковою умовою.
′
′′
′
Щоб знайти похідну y (x 0 ) = y 0 , в рівнянні (16.1) треба покласти x = x 0 , y = y 0 .
Похідну y (x 0 ) = y 0 знаходимо диференціюванням рівняння (16.1) по x :
′′
′
′′
y = f 1 (x, y, y ), (16.3)
поклавши в цьому рівнянні x = x 0 , y = y 0 , y = y .
′
′
0
′′
′
Продиференціювавши рівняння (16.3) і поклавши x = x 0 , y = y 0 , y = y , y = y , ді-
′
′′
0
0
′′′
станемо y (x 0 ) = y i т. д. Процес або обривається на деякому коефіцієнті, або завершується
′′′
0
знаходженням загального закону побудови коефіцієнтів.
Зауваження 16.1. За формулою (16.2) можна знаходити наближений розв’язок ди-
ференціального рівняння будь-якого порядку: y (n) = f(x, y, y , . . . , y (n−1) ) з початковими
′
умовами y(x ) = y , y (x ) = y , . . . , y (n−1) (x ) = y 0 (n−1) .
′
′
0
0
0
0
0
Зауваження 16.2. Питання про те, за яких умов розв’язок диференціального рівня-
ння можна шукати у вигляді ряду Тейлора (16.2), а також яка похибка цього розв’язку, ми
не розглядаємо.
Приклад 16.3. Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розвинення у ряд
2
3
розв’язку рівняння а) y = xy + y, y(0) = 0, y (0) = 1; б) y = x + y , y(1) = −1.,
′
′
′
′′
Розв’язання. а) Шукаємо розв’язок y(x) у вигляді ряду Маклорена:
y (0) y (0) y (n) (0)
′′
′
n
2
y(x) = y(0) + x + x + . . . + x + . . . .
1! 2! n!
Тут y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0 · 1 + 0 = 0. Послідовно диференціюючи дане рівняння,
′′
′
дістанемо
′′
y = y + xy + y = 2y + xy ., y (0) = 2;
′′′
′′′
′
′
′
′′
′′′
′′
′′
y IV − 2y + y + xy = 3y + xy , y IV (0) = 0;
′′′
′′
V
V
y = 3y + y + xy IV = 4y + xy IV , y (0) = 0.
′′′
′′′
′′′
Підставляючи знайдені похідні в ряд Маклорена, дістаємо шуканий розв’язок
1 2 8 x 3 x 5
5
3
y(x) ≈ x + x + x = x + + .
1! 3! 5! 3 15
б) Шукаємо розв’язок y(x) у вигляді ряду Тейлора:
′′
y (1) y (1) y (n) (1)
′
2
n
y(x) = y(1) + (x − 1) + (x − 1) + . . . + (x − 1) + . . . .
1! 2! n!
107