Page 106 - 4443

Застосування степеневих рядів

1/3
∫ 2
Приклад 16.2. Обчислити з точністю до 0, 001 інтеграл e −x dx. ,
0

Розв’язання. Формула Ньютона - Лейбніца тут не застосовна, тому що первісна в e −x 2 в елементар-
них функціях не виражається.
Скориставшись рядом (15.11), маємо

e −x 2 = 1 x 2 + x 4 − x 6 + · · ·
1! 2! 3!
Цей ряд рівномірно збіжний на всій числовій.осі, тому його можна почленно інтегрувати на будь-якому
1
скінченному сегменті, зокрема на відрізку [0; ] :
3
1/3
∫ ∫ ( x 2 x 4 x 6 )
e −x 2 dx = 1 1/3 1 − + − + . . . dx =
1! 2! 3!
0 0
( 3 5 7 ) 1/3
x x x
= x − + − + . . . =
1! · 3 2! · 5 3! · 7
0
1 1 1 1
= − + − + . . .
3 1! · 3 · 3 3 2! · 5 · 3 5 3! · 7 · 3 6
Дістали ряд лейбніцевого типу. Оскільки

1 1 1 1 1
> 0, 001, = > 0, 001, = < 0, 001,
3 1! · 3 · 3 3 81 2! · 5 · 3 5 2430
то з точністю до 0, 001 маємо

1/3
∫ 1 1
e −x 2 dx ≈ − ≈ 0, 321.
3 81
0
Як уже зазначалось, первісна F(x) для функції f(x) = e −x 2 не є елементарне функцією. Проте її легко
знайти у вигляді степеневого ряду, проінтегрувавши ряд для функції e −x 2 в межах від 0 до x :

x
∫ ∫ x ( x 2 x 4 x 6 )
F(x) = e −x 2 dx = 1 − + − + . . . dx =
1! 2! 3!
0 0
x 3 x 5 x 7
= x − + − + . . . , x ∈ (−∞, +∞).
1! · 3 2! · 5 3! · 7

Наближене інтегрування диференціальних рівнянь

Якщо інтегрування диференціального рівняння не зводиться до квадратур, то для наближеного
інтегрування можна скористатись рядом Тейлора.
Нехай треба знайти частинний розв’язок y(x) рівняння

′
y = f(x, y) (16.1)

106