Page 105 - 4443

Наближене обчислення визначених інтегралів

Для знакозмінних і знакододатних рядів величину r n (x 0 ), як правило, оцінюють так:

|r n (x 0 )| ≤ |u n+1 (x 0 )| + |u n+2 (x 0 )| + |u n+3 (x 0 )| + . . . ≤ a 1 + a 2 + a 3 + · · · = S.

∞
∑
де a k — певний знакододатний збіжний ряд, сума якого S легко обчислюється (наприклад,
k=1
геометрична прогресія), і для якого |u n+1 (x 0 )| ≤ a 1 , |u n+2 (x 0 )| ≤ a 2 , |u n+3 (x 0 )| ≤ a 3 , . . . .

Приклад 16.1. Обчислити з точністю до 0, 001 : а) значення sin 18 ; б) число e.
◦

Розв’язання. а) Скориставшись формулою (15.12) при x = 18 або x = π маємо
◦
10

π π π 3 π 5 π 7
◦
sin 18 = sin = − + − + ·.
5
7
3
10 10 10 · 3! 10 · 5! 10 · 7!
3
5
Дістали ряд лейбніцевого типу. Оскільки 10 > 0, 001, 10 ·3! > 0, 001, 10 ·5! < 0, 001, то з
π
π
π
5
3
точністю до 0, 001 маємо
π π 3
◦
sin 18 ≈ − ≈ 0, 309.
3
10 10 · 3!
б) Підставивши в ряд (15.11) x = 1, знайдемо додатний ряд
1 1 1 1
e = 1 + + + + · · · + + · · · .
1! 2! 3! n!
Оцінимо n-й залишок цього ряду:
1 1 1 1
r n = + + + + . . . =
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! (n + 4)!
( )
1 1 1 1
= 1 + + + + . . . <
(n + 1)! n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3)(n + 4)
( )
1 1 1 1 1 1 1
< 1 + + + + . . . = − · = .
(n + 2)! n + 1 (n + 1) 2 (n + 1) 3 (n + 1)! 1 − 1 n!n
n+1
Залишається підібрати найменше натуральне число n, щоб виконувалась нерівність n!n < 0, 001.
1
Неважко обчислити, що ця нерівність виконується при n ≥ 6, тому з точністю до 0, 001 маємо

1 1 1 1
e ≈ 1 + 1 + + + + ≈ 2, 717.
2! 3! 4! 5!

Наближене обчислення визначених інтегралів

x
∫
Нехай потрібно знайти інтеграл F(x) = f(x)dx, який або не виражається через елементарні
a
функції, або складний і незручний для обчислень. Якщо функцію f(x) можна розвинути в сте-
пеневий ряд, що рівномірно збігається на деякому відрізку, то для обчислення заданого інтегра-
ла можна скористатись властивістю про почленне інтегрування цього ряду. Похибку обчислень
визначають так само, як і при обчислень значень функцій.

105