Page 84 - 4399

2
d x r dx k
  x  . (7.2)
0
dt 2 m dt m
Рівняння (7.2) – диференціальне рівняння згасаючих
коливань.
Рівняння коливального руху тіла при цьому матиме
вигляд

x  A e  t cos  t   (7.3)
0 0
з довільними значеннями сталих А 0, ω, φ 0 і α. Введенням
початкової фази φ 0 ми об'єднуємо синус і косинус в одну
функцію. Обчисливши першу і другу похідні від виразу (7.2) і
підставивши їх значення в (7.3), дістанемо


2
A e  t   m    2  r   k cos  t   
0   0

  m2  r  sin  t     0,
  0
звідки отримаємо два рівняння для знаходження α і ω:
2
m    2  r    0,
k


m2 r  0.  
Розв'язуючи ці рівняння, знайдемо:
r
  , (7.4)
2m
і
k r 2
   . (7.5)
m 4m 2
Вираз (7.3) є загальним розв'язком рівняння згасаючих
коливань. Він відрізняється від чисто гармонічного коливання
тим, що амплітуда коливання
A  A e  t (7.6)
  t 0
є спадна функція часу.
Формулу (7.5) можна переписати так:

83