Page 83 - 4399

7 ЗГАСАЮЧІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. ХВИЛІ

7.1 Диференціальне рівняння згасаючих коливань
пружинного маятника та його розв’язок

В ідеальному випадку, коли на тіло діє тільки одна
пружна (квазіпружна) сила, коливання тіла будуть
гармонічними і незгасаючими. У реальних умовах механічна
енергія коливального руху тіла буде неперервно
зменшуватись, витрачаючись на переборення опору
середовища, на тертя в опорах, на створення хвиль, на
виникнення непружних деформацій тощо. Внаслідок цього
амплітуда коливань з часом зменшуватиметься і коливання
стануть згасаючими.
Система називається лінійною, якщо параметри, які
характеризують фізичні властивості системи, не змінюються в
процесі коливань.
Лінійні системи описуються лінійними
диференціальними рівняннями. Знайдемо диференціальне
рівняння, яке описує вільні згасаючі коливання тіла під дією
квазіпружної сили (F ) і сили опору ( F ).
кв пр o
За малих швидкостей руху сила опору прямо
пропорційна першій степені швидкості і напрямлена проти
руху, тобто
dx
F   r  r  , (7.1)
0
dt
де r – коефіцієнт опору, який залежить від властивостей
середовища, форми і розмірів рухомого тіла.
Другий закон Ньютона матиме вигляд
2
d x dx
m   kx r
dt 2 dt
або

82