Page 97 - 4371

ному випадку в матриці A знайдеться стовпчик, не всі
елементи якого нулі. Нехай це буде k -тий стовпчик, по-
T
значимо його через X , тобто X  a k 1 a k 2 a . . . nk  . Роз-
глянемо добуток B T X . В цьому стовпчику всі елементи,
крім k -того, є сума добутків елементів k -того стовпчика
матриці A на алгебраїчні доповнення відповідних елемен-
тів інших стовпчиків цієї матриці, а тому дорівнюють ну-
лю. k -тий елемент стовпчика рівний
a A  a A   a A  det A  0 . Отже B T X  0 , при-
1k 1k 2k 2k nk nk
чому X  0 . Остання рівність можлива тільки в тому ви-
T
падку, коли матриця B , а з нею і матриця B , – виродже-
на; отже det B  0 .

Таким чином, можна записати, щоdet B  det  A , де
  n  1, якщо det A  0 і   0 – довільне, якщо det A  0 .
m
2.20 Із рівності AB   E випливає, що матриці A і B
невироджені. Цю рівність, враховуючи асоціативність
множення матриць, можна подати у ви-

1
ді: A    BABA     BBA  E . Домножуючи зліва на A ,
      
m1
маємо     BABA      ABBA  1 , що при домноженні те-
      
m  1
пер справа на A приводить до рівності
m
   BABA       EBABA  , тобто    E .
BA
      
m1
2.21 Нехай A   a , B   b , AB  BA  C   c .
ij n n ij n n ij n n
Знайдемо слід матриці C , тобто суму елементів головної
діагоналі:
n n n
c    ba  a b  ...  a b    ab b a  ... b a 
 ii i1 i 1 i2 i 2 in ni i1 i 1 i2 i 2 in ni
 i 1  i 1  i 1
n n
 a b  b  0 .
 ij ji ji
 i 1 j  1

97