Page 95 - 4371

Якщо тепер останній визначник розкласти за елементами
першого рядка, одержимо       a  a  a ,
n n1 n2 n1 n2 n
що і вимагалось
2.12 Таких визначників є, очевидно, !n штук і кожен з
них дорівнює 1 або -1. Зрозуміло, що всі визначники мож-
на розбити на пари, в яких один з визначників одержується
з іншого, якщо в ньому поміняти місцями два рядки. Оскі-
льки ці визначники відрізняються знаком, то ясно, що сума
всіх таких визначників дорівнює нулю.
2.13. Розкладаючи визначник за елементами першого
стовпчика, одержимо:
  1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0
0   1 . . . 0   1 . . . 0 0
det   EA     10  10 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0   0 0 . . .   1
9  10 10  10
      10    10 .
2.14 Зауважимо, що парність суми k доданків, кожен з
яких є 1, або -1, співпадає з парністю числа k . Справді,
якщо всі доданки є 1, то твердження очевидне. Якщо ж в
сумі є доданки, рівні -1, то замінивши кожен з них на 1, ми
одержимо в сумі k , але при цьому початкова сума збіль-
шилась на парне число, тому парність її не змінилась.
2
Тепер розглянемо матрицю B  A . В цій матриці елеме-
нти b – непарні числа (сума 0 і непарної кількості 1 ), а
ii
b , i  j – парні числа (сума двох нулів і парного числа
ij

2
2
 1). Неважко бачити, що тоді det A  det A – непарне
A
число. А, значить, і det – непарне число, а тому не може
бути нулем.
2.15 В даній матриці знайдуться хоча б два рядки, всі
елементи яких – непарні числа. Віднявши від одного з та-
ких рядків інший, ми одержимо рядок, який складатиметь-

95