Page 102 - 4371

 1 1 1 . . . 1 
 
 0 1 1 . . . 1 

X  A  0 0 1 . . . 1  .
 
 ... . . . . . . . . .  . . .
 
 0 0 0 . . . 1 
2.30 Від супротивного. Нехай E  BA – вироджена мат-
риця. Тоді існує ненульовий вектор X такий, що
  BAE X  0, звідки випливає, що X  BAX . Позначимо
Y  AX . Оскільки X  BY , то Y  0 . Маємо
  ABE   YY  ABY  Y  AB AX  Y  A BAX   Y  AX 
 Y Y  0 , що означає, що E AB вироджена; супереч-
ність.
m m
m i i i i
2.31 Маємо   AE    C m A  E   C m A  0 , тобто
 i 0  i 1
m  m  m
i
E    C m i A і E  A   C m i A  i 1 , звідки A 1    C i m A  i 1 ,
 i 1   i 1   i 1
тобто A – невироджена матриця.
2.32 Оскільки ранг матриці A дорівнює 1, то всі її рядки
пропорціональні одному. Цей рядок і приймемо за матри-
цю С . Нехай i -тий рядок матриці A дорівнює Cb . Тоді
i
за матрицю B візьмемо стовпчик  b . За означенням до-
i
бутку матриць маємо A  BC .
2.33 З умови задачі випливає, що  2X  1 2X 2   E , де

E – одинична матриця того ж порядку, що й матриця X .
Звідси
4 X 1 X 2  E  4 X 1 X X  E  4 X  E .

1
Отже, X  E .
4
2
2.34 Оскільки E2 A A   E2 A E  A E A  E2  A ,
1
1 
1 
1
1
то 2E  A  A 2     AE  2E  A   2  AE    AE  .
102