Page 101 - 4371

  4   3  2   1 
 
 0  4   3  2   
1  
A 1  0 0  4   3  2 .
 5  
 0 0 0  4   3 
 4 
 0 0 0 0  
Цей результат легко узагальнюється на випадок матриці
будь-якого порядку.
2.27 Методом математично індукції легко довести, що
n
cos   sin   cos n  sin n  
     .
   
 sin  cos    sin n  cos n  
2.28 Зрозуміло, що det A  0 , отже можна вважати, що
рядки матриці A пропорціональні. Якщо серед елементів
матриці A немає нулів, то таку матрицю можна предста-
1  1
вити у виді A  m    ,  m  0. Для будь-якого натураль-
 1 1 
k k  1 k  1
1  1  2 2 
ного k маємо       1   0 . Отже, серед еле-

 1 1   2 k  1 2 k  
ментів матриці повинні бути нульові, причому ясно, що їх
повинно бути не менше двох. Легко впевнитись, що мат-
0  0 1  1 1  0 0  1 1  0
риці виду  ,  ,  ,   , а також   ,
         
 1 1   0 0   1 0   0 1   0 0 
0  0
  при піднесенні до степеня не змінюються. Із ска-
 
 0 1 
заного вище випливає, що умову A k  0 можуть задоволь-
нити тільки матриці виду
0  a 0  0
   або  .



 0 0   a 0 
Але кожна з них задовольняє також умову A 2  0.
2
2.29 Легко перевірити, що A  B . Тому
101