Page 96 - 4371

ся тільки із парних чисел. Легко бачити, що такий визнач-
ник дорівнює парному числу.
2.16 Див. розв’язок попередньої задачі.
2.17 Доведення проведемо індукцією по n , де n – поря-
док матриці. При n  1 твердження очевидне. Покажемо,
як зробити індуктивний перехід від n 1 до n . Поставимо
на перетині першого рядка і першого стовпчика даної мат-
риці A число x . Мінор A елемента x задовольняє при-
11
пущенню індукції, так що, розставивши на головній діаго-
налі A нулі і одиниці, можна добитися того, що A  0 .
11 11
Розкладаючи визначник матриці A за елементами першого
рядка, маємо: det A  xA  M , де через M позначено су-
11
му членів, які не залежать від x . Оскільки A  0 , то
11
det A  0 при x  0 , якщо M  0 , або при x  1 якщо
M  0.
2.18 Розглянемо матрицю B  A T A. Неважко бачити,
що це діагональна матриця, причому
2
2
2
b  a  a  .. .  a , 1  i  n . Тому
ii i 1 i 2 ni
2
2
2
2
2
detB  a  a  . . .  a 2 a  a  . . .  a 2  a  2 a  . . .  a 2 .
11 21 1 n 12 22 n 2 1n 2n nn

2
Але det B  det A T A  det A  T det A  det A , звідки очеви-
дним чином випливає рівність, що доводиться.
2.19 Позначимо одержану матрицю через B . Нехай
1
1 
матриця A невироджена; тоді, як відомо, B T  A .
det A
1
T
Отже B  A  E , або B T A  det A E . Звідси
det A
det B T  A  det   det A  E , або, враховуючи, що визначник
добутку матриць дорівнює добутку їх визначників і рів-
n
T
ність det B  det B , одержуємо det B det A  det  A , зві-
дки маємо det B  det A  n 1  .
Нехай тепер det A  0 . Доведемо, що тоді і det B  0 .
Якщо матриця A нульова, то доводити нічого, в против-
96