Page 37 - 4371

7.46 Знайти найменше значення функції
f (x )   x 1  x 2  x 3  x  4 .
7.47 Довести, що для всіх дійсних значень x виконана
нерівність
2
2
( x 6 )( x 9 )( x  5 x 4  ) x  73  10 x .
7.48 Довести нерівність
 1   1   1  1
1     1       1     .
2
2
2
 2   3   2013  2
1 3 5 99 1
7.49 Довести, що a    ...  .
2 4 6 100 10
7.50 Довести, що 2 m n2  mn для всіх натуральних чи-
сел m та n .
7.51 Сума двох додатних чисел a і b дорівнює 2013.
Довести, що ці числа задовольняють нерівність
5
5
a  b  2013 ba 2 2 .
n
7.52 Довести, що 2  1 n 2 n  1 для всіх натуральних
n  2.
7.53 Знайти найбільше і найменше значення функції
arcsin 3 x arccos 3 x .

8 Послідовності, границі послідовностей
8.1 Довести, що серед членів арифметичних прогресій:
а) 3, 7, 11, 15, 19, 23, ... ;
б) 5, 11, 17, 23, 29, 35, …
є нескінченно багато простих чисел.
8.2 Довести, що всі члени арифметичної прогресії, яка
складається із натуральних чисел, не можуть бути прости-
ми числами (за винятком виродженого випадку – арифме-
тичної прогресії з нульовою різницею, всі члени якої дорі-
внюють одному і тому ж простому числу).
8.3 Чи існує lim sin n ? lim cos n?
n  n 

37