Page 33 - 4371

7.4 Довести, що для будь-якого натурального n
n 1
1   1
 ln   .
n 1  n  n
7.5 Довести, що для будь-яких додатних чисел a і b,
таких, що  ba  1, має місце нерівність
2 2
 1   1  25
 a    b   .
 a   b  2
7.6 Довести, що якщо  – гострий кут, то

 1   1 
1    1     . 5

 sin   cos 
7.7 Довести, що для будь-яких дійсних x, y
  yx 1 xy   1 .
1 x 2 1 y 2  2

7.8 Довести, що для будь-якого натурального n  1
виконана нерівність
1 1 1 1
  . . .    . 1
n n  1 n 2  1 n 2
m  n m m  n
7.9 Довести нерівність  ln  , де 0 n  m .
m n n
n
 1 
7.10 Довести, що послідовності  ,x де x   1  , і
n n
 n 
n
 1 
 ,y де y   1  зростаючі, а послідовність  ,z де
n n n
 n 
n  1
 1 
z  1    спадна.
n
 n 
n n  1
 n   n 1
7.11 Довести нерівності ( n N )    n ! e   .
 e   e 
7.12 Довести, що при будь-якому цілому n 6 , справе-
дливі нерівності

33