Page 34 - 4371

n n
 n   n 
n ! n     .
 e   2 
2 x
1 x
7.13 Довести: e px 1 qx 2  pe  qe для будь-яких x , x і
1 2
таких p  , 0 q  0 , що  qp  1.
7.14 Довести, що для будь-яких додатних дійсних чисел
a b c
c
a, b, c справедлива нерівність a a b b c  abc  3 .
x
7.15 Довести нерівність e  1  ln  1  x .
3
 sin x  
7.16 Довести нерівність    cos x при 0  x  .
 x  2
7.17 Нехай a , a , a , – додатні числа і виконана
1 2 n
нерівність a  a   a  1. Довести, що
1 2 n
  aa   a 1 a 1 a  1 a 
1 2 n 1 2 n  n n  1 .
a a  a 1 a  a   a 
1 2 n 1 2 n
7.18 Нехай додатні числа x , x , y , y задовольняють
1 2 1 2
2
2
2
2
умовам x  x  y  y  1, x  x  y  y . Довести, що
1 2 1 2 1 2 1 2
x ln x  x ln x  y ln y  y ln y .
1 1 2 2 1 1 2 2
   tg x x 2
7.19 Довести, що для всіх x  ,0   1 .
 2  x 3
7.20 а) Довести, що для будь-яких дійсних y і y
0
y
e  e 0 y 1 y  y .
0
б) Нехай  xf – неперервна на  1,0  функція. Викорис-
товуючи попередню нерівність, довести, що
1
1  f  dxx
 e f  x dx  e 0 .
0
7.21 Довести, що для будь-якого натурального n вико-
нана нерівність
1 3 2 n 1 1
  . . .   .
! 3 ! 4  n 2 ! 2

34