Page 351 - 4371

1 1 1 1 1 1
14.17 cos    cos 2     cos 4   
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1
      cos  2 n .
2 2 2 2 2 2 2 2
                
n радиккалів
1 1 
n
Нехай cos 2   , тобто   . Тоді
2 4 3 2  n
1 1 1 1 1 1 
     cos .
2 2 2 2 2 4 3 2 n

         
n радикалів
2 2
14.18 Очевидно  a  a  b  c   b   c , тобто
a  b  c . З другого боку, b  c  b  c 
2 2
 b  c  a    a , отже, b  c  b  c   a . Якщо

ліву частину останньої нерівності поділити на b  c , а
праву на a , то одержимо b  c  a . Таким чином,

b  c  a  b  c , що означає, що відрізки a ,
b , c утворюють трикутник.
14.19 Розглянемо будь-яку множину A із даних 2013
множин. Вона перетинається з кожною із решти 2012 мно-
A
жин, тому існує елемент a  , який належить не менш
ніж 45 із цих множин. (Дійсно, якщо кожний із 45 елемен-
тів множини A належить не більш ніж 44 множинам, то
всього є не більше 44 45  1980 множин, відмінних від A ,
що суперечить умові.) Отже, нехай елемент a належить
множинам A , A , A , , A . Доведемо, що він належить і
1 2 45
всім решта множинам. Дійсно, ніякі дві множини із
A , A , A , , A не мають спільних елементів, відмінних
1 2 45
351