Page 346 - 4371

б) Загальна кількість чисел, які задовольняють умову за-
5
дачі, дорівнює 5  3125. Оскільки кожна з п’яти цифр в
кожному розряді зустрічається 625 раз, то сума цифр одно-
го розряду, взята по всіх числах, дорівнює
625 2  3 4  5 6  625 20  12500.
Тоді сума всіх чисел дорівнюватиме
4
2
3
12500 10  10  10  10  1  12500 11111  138887500.
14.3 Натуральні числа, які закінчуються на 2013, можна
4
записати у виді m  10  2013, де m – натуральне. Після
закреслення останніх чотирьох цифр одержиться число m .
4
За умовою число m  10  2013 повинно ділитись на m ,
що можливо лише тоді, коли m є дільником числа 2013. А
дільниками числа 2013 є числа 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671,
2013. Отже, маємо 8 чисел: 12013, 32013, 112013, 332013,
612013, 1832013, 6712013, 20132013.
14.4 Твердження очевидним чином випливає із нерівно-
стей:
2
n 2  n   n 4  2n 3  n 2  n 4  2n 3  2n 2  2n 1 
2
 n 4  2n 3  3n 2   2 n 1  n 2  n   1 .
14.5 Нехай п’ять послідовних цілих чисел є n  2 ,
2
2
n  , 1 n , n  , 1 n  2. Тоді   2n    n 1   n 2 
2
2
 5
  n 1    n  2  n 2   2 . Якщо б число 5 n 2   2 було
точним квадратом, то воно ділилось би на 25, отже, n 2  2
ділилось би на 5. Але це можливо лише в тому випадку,
2
коли остання цифра числа n є або 8, або 3, а квадрат жод-
ного цілого числа на ці цифри не закінчується.
14.6 Добуток чотирьох послідовних натуральних чисел
n , n  , 1 n , 2 n  3 можна представити наступним чином:
n  1n   2n   3n   n 2  3n n 2  3n  2  
2 2
 n 2  3n   n 2  3n   n 2  3 n  1  1.
 2

346