Page 28 - 4371

5.59 Вздовж діаметра кулі просвердлений циліндричний
отвір, висота циліндра 6 см. Який об’єм частини кулі, що
залишилась?
5.60 Знайти об’єм тора – тіла, одержаного обертанням
круга радіуса R навколо осі, яка лежить в площині круга
на віддалі d від його центра ( d  R ).

6 Рівняння, системи
6.1 Довести, що рівняння x 2  3y 2  17 не має розв’язків
в цілих числах.
3
6.2 Чи може 2 бути коренем квадратного рівняння з
раціональними коефіцієнтами?
6.3 Довести, що якщо всі коефіцієнти квадратного рів-
няння ax 2  bx  c  0 – цілі непарні числа, то корені рів-
няння не можуть бути раціональними.
6.4 Нехай p і q – цілі непарні числа. Довести, що рівнян-

ня x 2  2px  2 q 0 не може мати раціональних коренів.
6.5 Знайти алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами,
коренем якого є число 2  3 .
6.6 Довести, що для кожного натурального n рівняння
2
2
2
2
x  y  n і x  y  2 n мають однакову кількість
розв’язків в цілих числах.
6.7 Довести, що рівняння x 5  ax 4  bx 3  c  0 , де
a, b, c – дійсні числа і c 0 , має принаймні два комплек-
сних, не дійсних корені.
2
2
6.8 При якому найменшому значенні суми A  B рів-
няння x 4  Ax 3  Bx 2  Ax  1  0 має дійсні корені?
2
2
6.9 При якому найменшому значенні суми A  B рів-
няння 1006x 4  Ax 3  Bx 2  Ax  1006  0 має дійсні корені?
1
 x
6.10 Розв’язати рівняння 2   x 1  x   1 .
2 2

28