Page 25 - 4371

5.28 В трикутнику ABC на стороні AB взято точку P ,
а на стороні BC – точку R . Нехай Q – точка на відрізку
PR . Довести нерівність S  ABC  3 S  APQ  3 S  QRC .
3
5.29 Нехай p – периметр трикутника з цілочисельними
координатами вершин на площині Oxy , R – радіус описа-
ного навколо трикутника кола. Довести нерівність
3
p  54 R .
2
5.30 Дано параболи y  x і y  x 2  m (m  ) 0 . Довес-
ти, що хорда першої параболи, що дотикається до другої
параболи, ділиться точкою дотику навпіл.
5.31 Довести, що відрізок будь-якої дотичної до рівно-
бічної гіперболи, який лежить між її асимптотами, ділиться
точкою дотику навпіл.
5.32 Пряма перетинає рівнобічну гіперболу в точках A і
B , а її асимптоти – в точках C і D . Довести, що AC  BD.
5.33 Довести, що середини паралельних хорд параболи
лежать на одній прямій, яка паралельна осі параболи.
5.34 Довести, що середини паралельних хорд еліпса ле-
жать на одній прямій, яка проходить через центр еліпса.
5.35 Довести, що середини паралельних хорд гіперболи
лежать на одній прямій, яка проходить через центр гіпер-
боли.
5.36 Задано квадрат ABCD . Вказати всі точки M пло-
щини, які задовольняють умові MA MC  MB  MD .
5.37 Чи існує на координатній площині рівносторонній
трикутник з цілочисельними координатами вершин?
2 3 2 3
 x   y 
5.38 На кривій       1 (астроїда) знайти точ-
 a   b 
ку  , yx  таку, щоб площа трикутника, обмеженого доти-
0 0
чною до астроїди в цій точці та осями координат була най-
більшою.

25