Page 24 - 4371

5.19 Із довільної точки гіперболи x 2  y 2  1, відмінної
від  0,1  і  1 ,  0 , проведено дві дотичні до кола
x 2  y 2  1. Довести, що пряма, проведена через точки
дотику, дотикається до гіперболи.
2
5.20 Дотичні до параболи y  2 px в точках A, B і C
1
утворюють трикутник KLM . Довести, що S  S .
KLM ABC
2
5.21 Точка A знаходиться всередині кола радіуса R на
віддалі a від центра. Обчислити площу обмежену геомет-
ричним місцем основ перпендикулярів, опущених із точки
A на дотичні до цього кола.
5.22 Знайти параболу, яка дотикається до еліпса
 1
4x 2  y 2  5 в точках  1  ,  1 і  ,1  .
5.23 Нехай O – вершина параболи, F – її фокус, O –
точка перетину осі параболи з її директрисою, A – довіль-
на точка параболи, A – проекція точки A на директрису.
Знайти площу сектора FOA , якщо площа криволінійної
трапеції OA A O дорівнює S .
5.24 Нехай A, B – довільні точки деякої параболи,
A, B – їх проекції на директрису, F – фокус параболи.
Відомо, що площа криволінійної трапеції AB B A дорів-
нює S . Знайти площу сектора FBA .
5.25 Гіпотенуза прямокутного трикутника ковзає по
сторонах прямого кута. Яку криву описує при цьому вер-
шина прямого кута трикутника?
5.26 Знайти множину точок площини, із яких дану пара-
болу видно під прямим кутом.
5.27 Кожна сторона опуклого чотирикутника менша 20.
Довести, що для будь-якої точки O всередині чотирикут-
ника знайдеться вершина A чотирикутника така, що
OA  15.

24