Page 27 - 4371

5.50 Довести, що якщо для точки O , яка лежить всере-
дині чотирикутника ABCD площі S виконана рівність
2
2
2
2
2S  OA  OB  OC  OD ,
то чотирикутник ABCD – квадрат, а точка O – його центр.
5.51 Посередині кожного ребра трикутної піраміди взя-
то по точці. Знайти відношення об’єму многогранника з
вершинами в цих точках до об’єму піраміди.
5.52 Кінці відрізка, що має постійну довжину a , ковза-
ють вздовж двох мимобіжних взаємно перпендикулярних
прямих, відстань між якими дорівнює l, l  a . Знайти гео-
метричне місце середин цього відрізка.
5.53 Дано трикутну піраміду SABC із прямими плоски-
ми кутами при вершині S . Знайти множину точок M , для
2
2
2
2
яких виконується умова MA  MB  MC  3MS .
5.54 У тетраедрі SABC всі плоскі кути при вершині S
прямі, а SA  SB  SC . Довести, що сума плоских кутів при

вершині A дорівнює 90 .
5.55 Чому дорівнює найбільша площа проекції на пло-
щину прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b, c ?
5.56 Знайти найменший об’єм піраміди, яка відтинається
від координатного кута дотичною площиною до еліпсоїда
x 2 y 2 z 2
   1.
a 2 b 2 c 2
5.57 Із точки поза еліпсоїдом проводяться до нього всі
можливі дотичні. Довести, що всі точки дотику лежать в
одній площині.
5.58 Дана довільна трикутна призма ABCA B C . Точка
1 1 1
E ділить ребро AB навпіл, а точка F – ребро AC у від-
ношенні 3:1. В якому відношенні площина B EF ділить
1
об’єм цієї призми?

27