Page 22 - 4371

5 Геометрія
5.1 Нехай M – точка на колі, описаному навколо пра-
вильного n -кутника A A ... A . Довести, що величина
1 2 n
2
2
2
MA  MA   MA не залежить від положення точки M .
1 2 n
5.2 Нехай M – точка на колі, вписаному в правильний
n -кутник A A ... A . Довести, що величина
1 2 n
2
2
2
MA  MA   MA не залежить від положення точки M .
1 2 n
5.3 Нехай A A ... A – правильний n -кутник, вписаний в
1 2 n
2
2
2
коло радіуса R . Знайти суму A A  A A  . . .  A A .
1 2 1 3 1 n
5.4 Точки xA y ,  A, x , y  .., , . A x , y  – верши-
1 1 1 2 2 2 n n n
2
2
2
ни правильного n -кутника, вписаного в коло x  y  R .
Знайти суми x  x  .. .  x і y  y  .. .  y .
1 2 n 1 2 n
5.5 Довести, що сума квадратів віддалей від усіх вершин
правильного многокутника до будь-якої прямої, що прохо-
дить через його центр, є величина постійна.
5.6 Точки xA y ,  A, x , y  .., , . A x , y  – верши-
1 1 1 2 2 2 n n n
2
2
2
ни правильного n -кутника, вписаного в коло x  y  R .
2
2
2
2
2
2
Довести, що x  x  . . .  x  y  y  . . .  y .
1 2 n 1 2 n
5.7 Довести, що сума квадратів віддалей від будь-якої
точки одного з концентричних кіл до всіх вершин прави-
льного многокутника, вписаного в інше коло, є величина
постійна.
5.8 Знайти добуток довжин всіх діагоналей і сторін, які
виходять з однієї вершини правильного n -кутника, якщо
радіус описаного кола дорівнює R . Використовуючи
одержаний результат, зайти добуток
 2  n 1 
sin  sin . . .   sin .
n n n
5.9 Знайти суму квадратів всіх сторін і всіх діагоналей
правильного n -кутника, вписаного в коло радіуса R .
22