Page 257 - 4371

9.33 Нехай така функція існує. При
x  ,0 1   xf  1 f  x  ,    ,0  x , а при
1 1
x  2,1    1xf   f   2 x ,    ,x  2 , звідки відпо-
2 2
відно   1xf x , f    xx  1 і
1 1 1 2 2 1
 f  dxx   1 x dx  ,  f  dxx     dxx  1  ,
0 0 2 1 1 2
причому рівності не можуть виконуватись одночасно, бо
тоді  xf 1  x при x  1,0  і    xxf  1 при x  2,1  і
порушується умова неперервної диференційовності
f   x .Тому
2 1 2
1 1

 f  dxx   f  dxx  f  dxx    1,
0 0 1 2 2
що суперечить останній умові. Отже, не існує функції
f   x , яка б задовольняла поставленим умовам.
  
9.34 Розглянемо функцію    fxg sin x , x  0 , . За
 
 2 
  
теоремою Лагранжа знайдеться x  0 , таке, що
0  
 2 
     
 g   g  0  g   x 0 . Але g  0  f  ,0 g   f  1 ,
 2  2  2 
g  x  f  sin  x cos x . Тоді, якщо позначити sin x  t ,
0
одержимо g  x  f  sin x 0  cosx  0 f   1 tt   2 . Врахо-
0
 2
вуючи це, маємо  f 1  f   0 1  t f   t  , де t  1,0 .
2
9.35 При 0  sin x  1 y   0x ; при sin x  1 y   1x ,
отже
 
 1 при x   n , n  ,0  ,1  ,2 , . . .
y   x  2
 0 в противному випадку .

257