Page 253 - 4371

пливало б e  1 x  f  f  x  f  f   ex   2 x , що неможливо.
1 2
Якщо   xf зростаюча, то із нерівності x  x маємо:
1 2
f  x  f  x і e  1 x  f  f  x  f  f   ex   2 x – супереч-
1 2 1 2
ність. А якщо   xf спадна, то із нерівності x  x одер-
1 2
жуємо:  xf  f  x і e  1 x  f  f  x  f  f   ex   2 x що
1 2 1 2
теж неможливо. Отже, такої функції не існує.
9.23 Передусім зазначимо, що для будь-якого
1
x  f   1x . Тоді
2
1 2
f   2ax   f   ax  a    f   ax   f   ax  
2
2
1 1 2  1 2 
x
   f    fx   x   f    fx    
2 2  2 
1 1 2 1 2 2
   f    fx   x  f    fx    fx    fx   x
2 2 4
2
1 2 1 1  1  1 1
   f  x  f  x    f   x     f  x   f  x .
2 4 2   2 2 2
Отже, функція періодична з періодом a2 .
Приклад такої функції при a 1:
1
 , x   n 2,2 n 1  ,
f   x 2 n   .
 , 1 x   n2  ,1 2 n  2 ,

9.24 Так, наприклад
 ,0 якщо x ірраціонал ьне ,

f   x  m
 10 m n , якщо x  , де m і n  натуральні .
 n
9.25 Нехай 0  x  x . Оскільки графік функції
1 2
y  f   x вгнутий, то частина графіка, яка відповідає про-
міжку  ,0 x  лежить під хордою, що з’єднує точки
2
253