Page 254 - 4371

O  ,0  0 і A x , f  x графіка. Рівняння хорди
2 2
f  x
y  2 x . Очевидно, точка на графіку з абсцисою x
1
x
2
лежить нижче точки на хорді з такою ж абсцисою, тобто
f  x
виконана нерівність  xf  2 x . Звідси зразу випли-
1 1
x
2
f  x f  x
ває 1  2 , що і потрібно було довести.
x x
1 2
9.26 Не існує. Припустимо супротивне, що існує непе-
рервна функція   Rxf :  R така, що при раціональному
x f   x ірраціональне, а при ірраціональному x f   x
раціональне. Подивимось, яким може бути множина зна-
чень  xf . Оскільки множина раціональних чисел злічен-
на, то образ множини раціональних чисел не більш ніж
зліченний. Образ множини ірраціональних лежить в мно-
жині раціональних чисел, тобто знову ж таки не більш як
зліченний. Отже, множина значень  xf не більш як злі-
ченна. Але множина значень неперервної функції є промі-
жок, який складається із однієї точки або континууму то-
чок. Таким чином,  xf може приймати тільки одне-єдине
значення. Але це суперечить тому, що  xf приймає як
раціональні, так і ірраціональні значення. Значить, такої
функції не існує.
9.27 Доведемо, що функції f і g мають однакові пері-
оди. Нехай період функції f дорівнює T . Маємо
0
f   gx   x 0 при x   ,  Txf  g  Tx   при
x   . Віднімаючи від другого співвідношення перше і
враховуючи, що   Txf  f   0x , одержимо, що при
x   g  Tx  g   x 0. Але функція
h  x  g x  T  g  x періодична, оскільки g є періодич-
ною функцією. Очевидно, періодична функція може мати
254