Page 256 - 4371

n
x дорівнює 1, оскільки в противному випадку можна по-
ділити на нього  xF – умова при цьому збережеться. Ко-
ефіцієнт при x 2 n 3 у многочлена Q дорівнює
2
n 2 n 1  nn  1 n 2  n  3 n 2  n  3 n 3 2  2  n  2 n  2 n .
Тому степінь многочлена Q дорівнює 2 n 3 (тобто він не-
парний) при n  1. Легко перевірити, що для многочленів
F  x нульового і першого степеня умова виконуватись не
може. Отже, многочлена із вказаною властивістю не існує.
Неважко впевнитись, що функція   exF  e  x вказаній не-
рівності задовольняє. Дійсно F  x   F  ex  x ,

F    Fx   ex  x  e  2 x , F   x   F   ex 3 2 x  e 3 x  e  x ,
звідки
F     xFx     F 2  ex  2x  e  3x   F 2  3ex  2x  e  3x  e  x 

 F    .xFx   
9.31 Якщо  xf міняє знак, то вона в якійсь точці обер-
тається в нуль, тому строга нерівність неможлива. Таким
чином,  xf не міняє знак. Оскільки добуток f   f не
зміниться при заміні f на  f , можна вважати, що
f  x  ,0 x  R . Тоді f     0x , тобто графік функції
вгнутий. Оскільки  xf періодична і неперервна ( останнє
випливає із диференційовності ), то  xf має локальний
максимум в деякій точці c . В цій точці f     0c , що су-
перечить умові, тобто періодична функція не може задово-
льняти вказану умову.
9.32 Оскільки   0xf   , то  xf  зростає на  1,0 , тобто
 f   1x . Інтегруючи цю нерівність в межах від 0 до x ,
одержуємо f   fx    x0 , або f  x 1  x . Звідси

1 1 3 1 3
 f  dxx   1 x dx  . Але оскільки  f  dxx  , то
0 0 2 0 2
приходимо до рівності  xf 1  x .
256