Page 255 - 4371

границю 0 на нескінченності, якщо тільки вона тотожно
рівна нулю. Таким чином, xg  T   g  x , тобто функція
g теж має період T . Покладемо тепер  x  f   gx   x .
Ця функція періодична ( з періодом T ), прямує до нуля
при x  , отже   ,0 f  g .

2
9.28 Так, може. Наприклад  xf  x sin x .
9.29 Доведемо твердження індукцією по n . При n , 1 2
його легко перевірити:
e 1 x
  x  e 1 x
1 x
 e 1 x   e  e 1 x x 2 e 1 x
 e 1 x   , xe 1 x    e  1 x        .
x 2  x  x 2 x 2 x 3
Нехай рівність доведена для n  k  1, доведемо її для
n  k :
 k
 k
 k
x k 1 e 1 x   x    x k 2 e 1 x   x   x k 2 e 1 x   k x k 2 e 1 x   1k  
 1 x

1
x
x
1
 e
 e

 k 1
 x   x k 2 e 1 x    k  1 k 1    1 k 1     1 k 1 k e 
 x
x k  x k   x k

 e 1 x  k 1 e 1 x
1
k

   x  kx k 1 e 1 x  x k     k1 
1
 2  k
 x  x
k e 1 x k e 1 x k  1 e 1 x k e 1 x
  1 k   1   1 k   1 .
x k x k  1 x k x k  1
Рівність доведено. При доведенні використана формула
Лейбніца для похідних вищих порядків добутку двох фун-
кцій.
9.30 Зауважимо, що всякий многочлен непарного степе-
ня має хоча б один дійсний корінь і приймає як додатні,
так і від’ємні значення. Припустимо, що для многочлена
F  x степеня n при будь-якому дійсному x виконується
умова F    xFx    F    xFx    . Тоді многочлен
Q  x  F     FxFx       xFx    повинен мати парний сте-
пінь. Можна вважати, що коефіцієнт при старшому члені
255