Page 262 - 4371

1 ln x
1
x
f   x  x . При x 0 f   x 0; на  ,0  e  xf
x 2
e
1
зростає до максимального значення e і на  ,e    спа-
дає, прямуючи до 1. Графік зображений на рисунку 9.9.

10.1 Зауважимо, що xsin x cos  x  xcos x . Тоді
x 2 dx x x cos xdx
 2    2 
 sin xx  cos  x cos x  sin xx  cos  x
x cos x  xsin x
u  , du  dx
cos x cos 2 x
 
xcos xdx 1
dv  2 , v  
xsin x  cos  x xsin x  cos x
x dx  x
     
2
cos x  sin xx  cos  x cos x cos x  sin xx  cos  x

 x   sin xx  cos x sin x
 tgx  C   . C
 sin xx  cos x cos x
10.2 Перетворимо підінтегральну функцію
1 1
 =
3
3
cos x  sin x cos x  sin x  1 cos x   sin  x
2 2
cos x sin x   cos2  x sin x cos x sin x   cos2  x sin x  2
  
cos x sin x  cos1  x sin  x 3 cos x sin x  cos1  x sin  x
2
cos x sinx   2 1 cos x sinx  1 cos x sinx 2 
    . 
3 cos x sinx 1 cos x sinx  3 1   cos x sinx cos x sin  x
dx 1 cos x  sin  x dx
Тому    
3
3
cos x  sin x 3 1 cos x  sin x
2 dx 2 d sin x cos  x 2 dx
   2   
3 cosx sin x 3 1  sin x cos  x 3  2   
sin  x 
 4 
1  x  

  2arctg sin x  cos  x  2 ln tg      C .
3   2 8  
262