Page 251 - 4371

y
x
9.15 Маємо y  x  e  e , або, за формулою скінчен-
них приростів Лагранжа y  x  e c x   y , де c між x і y .
Оскільки e c   1, то x  y , тобто  xf  f  y для будь-
якої функції.
x
9.16 Так, наприклад   sinxf  .
2
9.17 Перепозначивши x  h через x , маємо
2
f x  2h  f   x  h . Доведемо, що функція  xf дифе-
ренційовна і  f   0x . Дійсно, при h  0
f  x 2h  f  x h 2 h
   0  h  0 . Точно так же
2h 2h 2
f  x 2h  f   x h
  0  h  0 . Тому
2h 2
f x    x  f  x
f   x  lim  0  x і   constxf  .
 x0  x
9.18 Візьмемо довільне x  0 . Тоді для будь-якого
0
x  , 0 x  x знайдеться c між x і x таке, що
0 0
f  c   2
f  x  f  x  f   xx  x  x  x  ,
0 0 0 0
! 2
звідки
  f  c 2
  xx   f     xxx   f   fx   x 0 . (9.1)
2 0 0 0 0
Оскільки f   x  A , то  2 A  f  x  f  x  2 A і якщо
0
B f  c   B
f    x  B , то    . Таким чином, із (9.1) оде-
2 2 2
ржуємо:
 B 2
    xx 0   f     xxx 0 0  2A  ,0
 2

2
 B   xx   f     xxx  2A  0 ,
 0 0 0
 2
251