Page 250 - 4371

9.11 Для доведення застосуємо теорему Коші про сере-
f  x 1
днє для функцій  xu  і  xv  на відрізку a,  b :
x x
f  b f  a f c    fc   c

b a  c 2 , a  c  b .
1 1 1
 
b a c 2
af   bfb   a
Звідси  f   cc  f  c  , або
a  b
1 a b
 f   cc  f   c  , що і потрібно було довести.
a  b f    bfa

9.12 Покладемо  xg  f  ex  x . Оскільки  0  gg   01  ,
то за теоремою Ролля   0xg  в деякій точці x   1,0 .
Але    fxg    x  f  ex  x . Значить   xf   f   x .
9.13 Нехай g  x  f  x  f   x  .. .  f  n  x , тоді
g  b
ln  b  a , звідки  bg  g  ea b a . Розглянемо функцію
g   a

h  x  g  ex  x ; очевидно:   gah   ea  a ,    gbh  eb b 
e
 g  ea b a  b  h  a . За теоремою Ролля знайдеться
c a,  b таке, що   0ch  . Але  xh  g  ex  x  g  ex  x ,
отже,  ecg  c  g  ec c  0 , тобто  cg  g  c . Звідси оче-

видним чином випливає, що f n1   c  f  c .
b
9.14 Розглянемо функцію   axg   x    xf . Очевидно,
що  0  gg   0a . Крім того, функція  xg диференційо-
вна на проміжку  ,0  a , причому
b
g   x   b a   x b1 f   ax   x  f    x . За теоремою Ролля
існує точка x   ,0  a така, що g    0x , тобто
0 0
b
b   xa  b 1  f     ax x    0xf , або
0 0 0 0
bf   ax   x   xf  , що й треба було довести.
0 0 0
250