Page 249 - 4371

1
t
t
t
 a  a   a  t
9.8 Нехай f  t   1 2 n  , тоді
 
 n 
t
t
t
 a  a   a 
ln   1 2 n 

ln f   t   n  . При знаходженні границі
t
lim ln f   t застосуємо правило Лопіталя:
t 0
 a t  a t   a t 
ln  1 2 n 
 n  a ln a  a ln a  ...  a ln a
t
t
t
lim    lim 1 1 2 2 n n 
t 0 t t 0 a t  a t  .. .  a t
1 2 n

ln a  ln a  ...  ln a 1
 1 2 n  ln a  a . a  . . n .
2
1
n n
Таким чином,
1
t
t
t
 a  a   a  t 1 ln a  2  a n 
a  ...
lim  1 2 n   e n  n a  a  a  .
t0  n  1 2 n
 
9.9 Розглянемо функцію  xg  f   xx  2 2. Вона дифе-
ренційовна на  1,0 , причому  xg  f    xx  . Зокрема,
 g   10  ,  1 g   1. Звідси випливає, що функція  xg не
може досягати максимуму на відрізку  1,0  в його кінцях.
Значить  xg досягає максимуму в деякій точці c  1,0 ;
при цьому   0cg  , тобто   ccf   .
9.10 Очевидно функція  xf неперервно диференційов-
на на всій числовій прямій. Неважко знайти:
1 1 1 1 1 1
f   0  3 5 3  , 0 f   1  2 2 2  0.
 1  1  1 1 2 6

За теоремою Ролля знайдеться c  1,0  таке, що   0cf  .

249