Page 246 - 4371

x  x 1 x  x 1 x  x 1
n  1 n  2   і т.д. 3 2   , 2 1   .
x  x  2 n  2 x  x 2 2 x  x 2 1 
n  2 n  3 2 1 1 0
Перемноживши ці рівності, одержуємо:
x  x   1 n 1      1 n 1  b  a
n n  1
 , тобто x n  x n  1  . Тоді
x  x 2 n 1   n  ! 1 2 n  1  n  ! 1
1 0
    1 n  2 b  a  1 b   a
x  x  і т. д. x  x  ,
n  1 n  2 n  2 2 1
2  n 2 ! 2 ! 1 
0
  1 b   a
x  x  . Додаючи одержані рівності, одер-
1 0 0
2 ! 0 
жуємо:
k
 1 
n 1  1 k n 1    
 2
x  x    ab   , або, x  a    ab   .
n 0 k n
k 0 2  !k k 0 ! k
Таким чином,
  1  k   1  k
       
 n 1  2   n 1  2 
lim x  lim a   ab    a   ab lim  
n   n n    k 0 ! k  n   k 0 ! k
 
 
 
1
 b  a
 a  b  a e 2  a  .
e
9.1 Знайдемо границю відношення цих нескінченно ма-
лих:
 
 arctg x t заміна
2 заміна 2 z
lim   lim    lim  1.

x   1 x  tgt t  ctg t t  z z  0 tg z
2 2
x
Отже, нескінченно малі еквівалентні.
x 2 e x
1  1  1 cos x
9.2 Маємо   x1lim 2 e x  1 cos x  lim    x1 2 e x  ex 2 x  
x 0 x 0
 
246