Page 243 - 4371

a  3a  3 10 n 2 ,
 n n 1

a 10a  4 3 n 2 .
 n n 1
Виключаючи із системи a , одержуємо
n  1
1 n 1  n 1  a n 3
a   103  4 3  . Неважко бачити, що lim  .
n n
7 n   10 70
n n! ln  n!
8.40 Нехай a  , тоді ln a   ln n . Виходячи
n n
n n
із геометричного змісту інтеграла, як і при розв’язуванні
n n

задачі 8.10, одержуємо ln xdx  ln  n!   ln xdx ln n, або
1 1
nln n  n 1  ln   nn!  ln n  n 1  ln n .
n 1 ln  n! n 1 ln n
n
Тоді ln    ln n   і
n n n n
n 1 ln  n! n 1 ln n
   ln n    , або
n n n n
n 1 n 1 ln n
  ln a    .
n n n n
ln n
Враховуючи, що lim  0, маємо: lim ln a n   1, тоді
n   n n  
n n! 1
lim a  lim  e  1  .
n  n n  n e
8.41 Маємо:
a  na 1  n   1n a 1 1 n  1n a  n 1 

n n 1 n 2 n 2
 n  1n    2n a 1  n 1  n  1n   2n a  n  1n 
n 3 n 3
 n 1  n  1n   2n   3n a 1  n  1n  n 1 
n 4
 n  1n  2n  3n a  n  1n  2n    nn 1  n 1  
n 4
 n !a  n  n  1   2 n  n  1   3  n  n  1  n  1.
0
a 1 1 1 1 1 1 n 1
Тоді n 1          і
 k!
n! ! 1 ! 2 ! 3  n 2   n 1! ! n! k 0
243