Page 234 - 4371

n n 1 n
   .
n  n 2 k 1 k  n 2 1 n 2
n n
Оскільки lim  lim  1, то і
n   2 n   2
n  n 1 n
n 1
lim   1.
n   2
k 1  k  n
8.23 Неважко бачити, що послідовність  x зростаюча;
n
доведемо, що вона обмежена зверху. Покажемо індукцією

по n , що x  c  1 для будь-якогоn . При n 1 нерівність
n
k
очевидна. Якщо вона виконується при n  , то при
n  k  1 одержуємо:
2
x  c  x  c  c  1  c  2 c  1   c   1  c  1.
k  1 k
Отже, послідовність збіжна, нехай її границя рівна a . Для
знаходження a в рівності x 2  c  x перейдемо до гра-
n1 n
2
ниці при n   і одержимо a  a  c . Це рівняння має
1 1 4c
єдиний додатний корінь a  . Таким чином,
2
1 1 4c
lim x  .
n  n 2
8.24 Очевидно, всі члени послідовності додатні. Якщо
a a  3  a
x  a , то x   a , отже, якщо x  a ,
n n1 1
3 a  a
то x  a для всіх n , і lim x  a .
n n
n 
Нехай тепер x  a . Розглянемо різницю
1
x x 2   a 3 x 3  x3 a  x3 2 a  a a
x  a  n n  a  n n n 
n 1 2 2
x 3 n  a x 3 n  a
3
x   a
 n .
2
3 x  a
n
234