Page 237 - 4371

Доведемо методом математичної індукції, що
2013  a  2012 3 n 1   1
x  n , де a  .
n n
1 3a  2012 2
n
Справді, при n  , 1 , 2 , 3 4 формула вірна; припустимо, що
k
вона вірна при n  , тоді
1 1 1 3a 2012
x    k 
k 1
4 3x 2013  a 2012 1 3 3a 1 2012
k 4   3 k k
1 3a 2012
k
2013 3a  1  2012 2013a  2012
 k  k  1 .
1 3 3a  1  2012 1 3a  2012
k k  1
Тому
3 n  1  1
2013  2012  3 n  1  2012 2014 1
lim x  lim 2  lim  .
n
n   n n   3 n  1  1 n    3  2012 6038 3
1 3  2012
2
x 1
8.29 Очевидно x  , 2 n  2 , x  2  n  1  2  ,
n n  1
3x  1 3
n 1 
1
отже, 2  x  2 , n  3. Розглянемо дві послідовності:
n
3
1 1
 a і  b , де a  , 2 a  2  , n  1, b  2  ,
n n 1 n  1 1
3  1 a 3
n
1 1
b  2  , b  2  , n  1. Зрозуміло, що  a –
1 n  1 n
3 3  1 b
n
підпослідовність послідовності  x , яка складається із
n
членів з непарними номерами, а  b – підпослідовність
n
 x , складена із членів з парними номерами.
n
Методом математичної індукції доведемо, що  a зрос-
n
таюча, а  b спадна послідовності. Справді, a  a , а
n 2 1
припустивши, що a  a , маємо:
n n  1
237