Page 238 - 4371

a  a  a  a
a  a  2 n  2   n 1    n n 1   0 ,
n  1 n  
3a  1 3a  1 3a  1 3a   1
n  n 1   n n 1 
тобто a  a . Аналогічно доводиться, що послідов-
n1 n
ність b спадна. Таким чином, в силу монотонності і об-
n
меженості, послідовності  a і  b збіжні. Для границь
n n
цих послідовностей граничним переходом одержуємо одне
1 3 15
і те ж рівняння: x  2  , звідки x  . Таким
3  1 x 3

3  15
чином, lim x n  .
n   3
8.30 Випишемо кілька перших членів послідовності:
0  1 1 1 1 2 3
a  0 , a  1, a   , a   ,
0 1 2 3
2 2 2 4
1  1 3  5
a      . Доведемо методом математичної індук-
4
2  2 4  8
ції, що загальний член послідовності задається рівністю
n
2   1 n 1 
a  , n  0. При n 4 , 3 , 2 , 1 , 0 рівність викона-
n n 1 
3 2
k
на; припустимо, що вона виконується при n  . Тоді при
n  k  1 маємо:
1 1  2 k 1   1 k 2 2 k   1 k 1 
a  a  a      
k 1 k 1 k  k 2 k 1 
2 2  3 2 3 2 
1 2 k   2  1 k 2  2 k   1 k 1 1 2 k 1     1 k 2 2  1
  
6 2 k 1 6 2 k 1
2 k 1   1 k
 .
3 2 k
n
2   1 n  1 2
Отже, lim a n  lim  .
n   n   3 2 n  1 3
8.31 Перетворимо вираз загального члена послідовності:

238