Page 233 - 4371

1 1
Але   1 2 , тобто,   , так що,   і
1 1 n n
2 2
  0 при n , звідки випливає, що границя A дійсно
n
існує і рівна 1 2 .
8.21 Знайдемо кілька перших членів послідовності:
3 3 4  3 15 15 16  3 63
a  , a   , a   . Доведемо
1 2 3
4 4 16 4 64
методом математичної індукції, що загальний член послі-
n
4  1
довності задається формулою: a  . При
n n
4
n  , 1 , 0 , 2 3 формула справедлива, нехай вона справджу-
k
ється при n  , тоді при  kn  1 маємо:
k
4  1
 3
k
a  3 4 k 4  1 3 4  k 4 k  1  1
a  k    ,
k 1  k  1 k  1
4 4 4 4
що свідчить про те, що формула справедлива при будь-
n
4  1
якому натуральному n . Тоді lim a n  lim  1.
n   n   4 n
 1n  2 1
8.22 а) Нехай a   . Зауважимо, що в сумі
n
k n 2 k
2
 n  1 1 1 1 1 1 1
      
k n 2 k n n 2  1 n 2  2 n 2  2n n  1
2
 n  1  n 2  1  2 n 2 доданків. Замінивши всі з них на
2 n 2
найменший, одержимо a   2 , а замінивши всі
n
n  1
2 n 2 2
доданки на найбільший, матимемо a   2  .
n
n n
2
Отже 2  a  2  , звідки випливає, що lim a  2.
n n
n n  
б) Аналогічно попередньому одержуємо оцінку:

233