Page 239 - 4371
P. 239

1     1       2          n    n1   n2      n n
                a     1    1      1                             .
                 n                            
                    n     n       n          n             n  n
               Позначимо        S     n 1   n  2     n   n ,   отже,
                                  n
                     S
                a     n  . Розглянувши графік функції  y     x  і викорис-
                 n
                    n  n
               товуючи геометричний зміст визначеного інтеграла, одер-
               жуємо:
                                          2 n
                 n   n 1     2 n 1     x dx   n 1   n 2      n 2 .
                                          n
                                               2 n
                                 2 n       2  3     2
               Враховуючи, що       x dx    x 2     n 22  n   n  n 
                                  n        3   n    3
                  2
                  n  n 2  2    1 , маємо
                  3
                                           2
                                   S  2 n   n   n   n 2  2  1  S  , тобто
                            n                                n
                                           3
                     2                     2
                       n    n 2  2  1  S   n   n 2  2  1  2 n   n ,
                     3                  n  3
                    2                 2             2  1
               або,  2   2  1  a   n  2  2    1   , а тому
                    3                 3              n
                                             2
                                    lim a    2  2    1 .
                                    n    n  3
                  8.32 Введемо позначення  a     ln 1  ln 1  . . .   ln  x . От-
                                               n           
                                                           n  разів
               же,  a    ln  1  a  . Очевидно, при  x  1  a    ln 1  ln x  0 .
                     n1        n                          2
               Але, якщо  a     0, то і  a    ln 1 a   0 . З другого боку,
                            n            n  1       n
                a    ln  1  a   a  .(див.  розв’язок  задачі  7.4).  Таким  чи-
                 n1         n    n
               ном, послідовність  a  монотонна і обмежена, отже, існує
                                      n
                lim  a   A.  Для  A   граничним  переходом  одержуємо  рів-
                    n
                n 
               няння  A  ln  1   A , яке має єдиний корінь  A    0 .
                                            239
   234   235   236   237   238   239   240   241   242   243   244