Page 239 - 4371
P. 239
1 1 2 n n1 n2 n n
a 1 1 1 .
n
n n n n n n
Позначимо S n 1 n 2 n n , отже,
n
S
a n . Розглянувши графік функції y x і викорис-
n
n n
товуючи геометричний зміст визначеного інтеграла, одер-
жуємо:
2 n
n n 1 2 n 1 x dx n 1 n 2 n 2 .
n
2 n
2 n 2 3 2
Враховуючи, що x dx x 2 n 22 n n n
n 3 n 3
2
n n 2 2 1 , маємо
3
2
S 2 n n n n 2 2 1 S , тобто
n n
3
2 2
n n 2 2 1 S n n 2 2 1 2 n n ,
3 n 3
2 2 2 1
або, 2 2 1 a n 2 2 1 , а тому
3 3 n
2
lim a 2 2 1 .
n n 3
8.32 Введемо позначення a ln 1 ln 1 . . . ln x . От-
n
n разів
же, a ln 1 a . Очевидно, при x 1 a ln 1 ln x 0 .
n1 n 2
Але, якщо a 0, то і a ln 1 a 0 . З другого боку,
n n 1 n
a ln 1 a a .(див. розв’язок задачі 7.4). Таким чи-
n1 n n
ном, послідовність a монотонна і обмежена, отже, існує
n
lim a A. Для A граничним переходом одержуємо рів-
n
n
няння A ln 1 A , яке має єдиний корінь A 0 .
239