Page 229 - 4371

б) Аналогічно:
n k 3  k6 2 11 k  5 т  k 1  k 2  k 3 1
   
k 1  k 3 ! л 1  k 3 !
n  1 1  1 1 1 1 1
        1      .
 
k 1 k!  k 3 !  ! 2 ! 3  n 1 !  n 2   n! 3 !
n k 3  6k 2  11 k 5 5
Тобто lim   .
n    k 3 ! 3
k  1
8.13 Очевидно: lim x x x  x  x lim x x  x ,
n       n    
n радикалів n 1 радикал
тобто x 2013  2013 . Звідси легко одержуємо:
x  2013 .
2
8.14 Запишемо a у виді a  . Оскільки
n  1 n 1
a  1 a
n n
1
a  0 при всіх n , то a   2 , тому a  , 1 n  2 . З
n n n
a
n
другого боку,
2a 2a  a 3  a a 1 a 2 
a  a  n  a  n n n  n n  0 ,
n  1 n 2 n 2 2
a  1 a  1 a  1
n n n
тобто a  a . Отже, послідовність  a неспадна і обме-
n n  1 n
жена зверху, а тому збіжна. Для границі x цієї послідовно-
2x
сті одержуємо рівняння x , звідки x 1. Таким чи-
x 2  1
ном, lim a  1.
n   n
8.15 а)
  
1
n
   7 7   7
n
1
7  77  777    77 7 . . . 9  9  9  99  9  99  9
 
777 7 . . . 7
    99   9
...

n 9 n
229