Page 232 - 4371

8.18 Оскільки
1 2 3 2  ...   2n 1  2 1 3 3 5 2n 1 2n 1  1
a 2    .  . .  
n 2 2 2 2 2 2
2 4 .  . .  2n 2 4  2n 2n 1
1
 ,
2 n 1
1
то при будь-якому n  N 0  a  і lim a  0 .
n n
2 n 1 n  
8.19 Маємо
n k 3 1 n  k 1 k 2  k 1  1 2 .  . .  n 1  n k 2  k 1
 3   2    2 
 k
 k
k 2 1 k 2  k 1 k  k 1 3 4 .  . .  n 1  k 2  k 1
2 n k 2  k 1
  .
n  n 1   k 2  k 1
k 2
2 2
Але  k  1   k 1  1  k  k  1, так що, скорочуючи од-
накові співмножники в чисельнику і знаменнику, останній
вираз перетворимо до виду
2
2
2 n  n 1 2 n  n 1
   , отже,
2
n n 1  2 2  2 1 3 n  n
3
3
 2  1 3  1 n 3  1 2 n 2  n  1 2
lim  . . .     lim   .
3
3
n    2  1 3  1 n 3  1  n   3 n 2  n 3
 
8.20 Якщо границя A існує, то вона задовольняє спів-
1
відношенню A  2  , звідки A  1 2 . Позначимо n -й
A
член послідовності 1  2   . Тоді із рівності
n
1    21 
1  2    2  одержуємо   n
n1 n1
1  2   1  2  
n n
і при   1 маємо
n
1 2 1
     .
n 1 n n
2 2
232