Page 235 - 4371

Як видно, знаки різниць x  a і x  a співпадають,
n n1
це означає, що при x  a всі x  a , а при x  a всі
1 n 1
x  a . Порівняємо x і x :
n n  1 n
3
2
3
x x  3  a x  3 ax 3 x  ax 2 x a  x 2 
x  x  n n  x  n n n n  n n .
n1 n 2 n 2 2
3 x  a 3 x  a 3 x  a
n n n
Звідси випливає, що якщо x  a , то x  x , а якщо
1 n1 n
x  a , то x  x . В першому випадку послідовність
1 n1 n
зростаюча і обмежена зверху, а в другому – спадна і обме-
жена знизу, тобто в будь-якому випадку вона збіжна. Якщо
в рівності, що визначає послідовність, перейти до границі
при n , то для границі c послідовності маємо:
2
c c  3  a 2 2 2
a
c  , звідки c3  a  c  a 3 , тобто c  і
2
3 c  a
c  lim x  a .
n  n
8.25 Доведемо, що дана послідовність обмежена і моно-
тонна. Очевидно, якщо 0  a  2 , то і 0  a  2, отже,
n n  1
послідовність обмежена. Розглянемо різницю
a a  3a  a 2 a a   2
a  a  n  a  n n n  n n  0 ,
n  1 n n
3  a 3  a 3  a
n n n
тобто, послідовність спадна, тому збіжна. Перейшовши до
границі при n  в рівності, що задає послідовність, лег-
ко одержуємо: lim a n  0 .
n  
8.26 Маємо: x  3 6  1 і x  3 6  3 8  2 для всіх
n n
n . Крім того, послідовність  x строго монотонно зрос-
n
тає, тому збіжна. Якщо в рівності, що задає послідовність,
перейти до границі при n  , то неважко одержати:
lim x n  2 . Тоді
n  
8 x 3 2 x 2 x
0  2 x  n 1  n  n .
n 1 2 2
4  2x  x 4 2x  x 7
n 1 n 1 n 1 n 1
235