Page 231 - 4371

. . . . . . . . . . . . . . .
2 n 1 1 2n
ln   ln .
2n 2n 2 n 1
Додаючи ці нерівності, одержимо:
  nn  1  2  2... n   1 1 1 1 n  n  2... 1 n
ln      ln ,
n  n  2... 1 n n n  1 2n  n 1  2...n n   1
або,
2 n 1 1 1 1 1 2n
ln       ln .
n n n  1 n  2 2n n  1
2 n 1 2n
Враховуючи, що lim ln  lim ln  ln 2 , одержуємо:
n   n n   n  1
 1 1 1 1 
lim       ln 2.
n
n    n n  1 n  2 2 
n 1
1 1 1  1 1 1
8.17 Нехай x  1    . . .  , y   
n n
2 3 4 n n n 1
1 1 1 1 1 1  1
 . . .  . Тоді x 2n 1    .  . .    1 
2 n 2 3 4 2n 1 2n  2
1 1 1 1   1 1 1 1   1
  .  . .    2    .  . .    1 
3 4 2n 1 2n   2 4 6 2n   2
1 1 1   1 1 1  1 1 1
      1     .. .       ,
3 4 2 n   2 3 n  n 1 n 2 2 n
1
тобто x  y  . В задачі 8.16 доведено, що
2 n n
n
 1 
lim y n  ln 2 . Отже, lim x 2n  lim y n    ln 2 . Враховую-
n   n   n    n 
1
чи, що x  x  , маємо lim x 
2 n 1 2n 2n 1
2 n 1 n  
 1 
lim x 2n    ln 2 . Таким чином, lim x n  ln 2 .
n    2 n 1 n  

231