Page 228 - 4371

таюча, а тому збіжна. Перейшовши до границі в рівності,
що визначає послідовність, одержуємо: lim x  3 a .
n
n 
ln  !n
8.10 Зауважимо, що  1. Крім того, розглянувши
n ln n
графік функції y  ln x і виходячи із геометричного змісту
визначеного інтеграла, неважко одержати:
n
ln   ln! n 1 ln 2  ln 3  ln n  ln xdx  n ln n  n  1 .
1
ln  n! nln n  n 1  n 1
Отже,   1 . Таким чином,
nln n nln n nln n
n  1 ln  !n n  1
1   1. Враховуючи, що  0 при
n ln n n ln n n ln n
ln  !n
n  , одержуємо: lim  1.
n   n ln n
8.11 Перейдемо до неперервної змінної x і застосуємо
правило Лопіталя 2012 раз:
x 2013   1x  2013 2013x 2012  2013  1x  2012
lim  lim 
x   x 2012 x   2012x 2011
2013  2012x 2011  2013  2012  1x  2011
 lim  .. . 
x   2012  2011x 2010
2013 2012 . . .    2 x  x 1 
 lim  2013.
x   2012 !
n k 2  k3 1 n  k 2  k 1 1
8.12 а)    
k 0  k 2 ! k 0  k 2 !
n  1 1   1 1   1 1   1 1 
                    


k 0 k !   !2k    !0  ! 2  !1  ! 3  ! n   !2n  
1 1 1 1
    .
! 1
! 0 ! 1  n   n 2 !
n k 2  3 k 1
Звідси випливає,що lim   2 .
n    k 2 !
k  0
228