Page 227 - 4371

Зауважимо, що остання рівність справедлива також і при
n  3 , 2 .

8.7 Очевидно
n n n 1 
1  2 2  3 3  n n n  n 2  n 3   n n n 1
1    
n n n n n n
n n  1 n n
   .
n n n  1 n  1
3
2
1 2  3  . . .  n n
Тому lim  1.
n   n n
8.8 Очевидно x  0 при всіх n , тоді
n
1  a  a
x  x     x   a .
n1  n  n
2  x n  x n
Отже, x  a , n  1, тобто послідовність обмежена знизу.
n
Далі,
1  a  x 2  a  2x 2 a  x 2
x  x   x    x  n n  n  , 0 n  1,
n  1 n  n  n
2  x n  2x n 2x n
що означає, що послідовність незростаюча, отже, існує
lim x  c . Щоб знайти c , в рівності, що задає послідов-
n
n 
1  a 
ність, перейдемо до границі, одержимо c  c  , звід-
2  c 
ки c  lim x  a .
n  n
1  a  a
8.9 Очевидно, x  x   x    3 x  x   3 a ,
n 1  n n 2  n n 2
3  x n  x n
3
3
2 x  a 2 x  x 3
3
отже x  a , n  2 . Крім того, x  n  n n  x .
n n1 2 3 n
x 3 n x 3 n
Таким чином, послідовність  x обмежена знизу і незрос-
n
227