Page 17 - 4371

2
2
квадратних тричленів x  ax  b і x  cx  d з цілими
коефіцієнтами a, b, c, d .
3.26 Скільки дійсних коренів має многочлен
x 2 x 3 x n
f  x 1  x    .. .  ?
2 3 n
3.27 Довести, що для будь-якого натурального n
многочлен
x 2 x 3 x n
P   1 xx      . . . 
n
! 2 ! 3 ! n
не може мати більше одного дійсного кореня.
3.28 Нехай a , a , a , – додатні числа. Довести, що
1 2 n
n
многочлен x  a x n1  a x n2   a має рівно один
1 2 n
додатний корінь.
c c
3.29 Відомо, що c  1   n  0 (c , c , c , – дій-
0 0 1 n
2 n  1
n
сні). Довести, що многочлен c  c x   c x має хоча б
0 1 n
один дійсний корінь.
3.30 Нехай  xP – многочлен степеня n і

  0aP , P    0a , P     0a , . . . , P  n  1   0a , P  n   0a .
Довести, що дійсні корені рівняння   0xP не перевищу-
ють a .
3.31 Довести, що всякий многочлен  xP можна пред-
ставити у виді різниці двох многочленів, що монотонно
зростають.
3.32 Довести, що многочлен x n  4 розкладається в
добуток двох многочленів меншого степеня з цілими кое-
фіцієнтами тоді і тільки тоді, коли n ділиться на 4.
3.33 Нехай P , P – многочлени від x , x , x з дійсни-
1 2 1 2 3
ми коефіцієнтами. Чи можлива рівність
2
2
2
2
2
P  P  x  x  x ?
1 2 1 2 3
3.34 Довести, що в добутку
17