Page 186 - 4371

3
b 2  c
3
Підставимо сюди 4   (що випливає із (6.1)):
a
b b 3 2   c
2 a  c 3 2  0 , або 2a 2 b 2 3 2 bc  ac 3 2  0.
a
bc  2a 2
3
3
Звідси 2  , що неможливо, оскільки 2 – ірра-
ac  b 2
ціональне число, а в правій частині рівності стоїть число
3
раціональне. Таким чином, 2 не може бути коренем ква-
дратного рівняння з раціональними коефіцієнтами.
6.3 Очевидно, потрібно довести, що дискримінант не
може бути точним квадратом. Нехай a  2 m 1,
b  2 n , 1 c  2 k 1. Тоді
2
D  b 2  4ac  2n 1   4 2m 1 2k 1  
 4n 2  4n 1  4 4mk  2m  2k 1  

 4n 2  4 n 1 16mk  8 m 8 k 4   4 n 2  n  4mk  2 m 2k  3 .
2
2
Врахуємо, що n  – число парне, нехай n  n  l 2 .
n
Таким чином,
D  4 2 l 4mk  2 m 2k  3   8 l 2mk  m  k  3  8 p 3.
Одержане число – непарне, воно може бути квадратом
2 2
тільки непарного числа. Нехай D  2 q  1  4q  4 q 1,
отже 8 p 3  4q 2  4 q 1, або 8  qp  4 2  q  4 . Остаточно
2
q
2 p q 2  q  1 . Враховуючи, що q  – число парне, ба-
чимо, що дана рівність неможлива, що і доводить твер-
дження.
6.4 Коренем рівняння не може бути ціле непарне число,
оскільки при непарному x квадратний тричлен
2
x  2 px 2 q приймає непарне значення і тому не може
обертатись в нуль.
Коренем даного рівняння не може бути і ціле парне чис-
2
ло. Дійсно, якщо x парне, то x  2 px ділиться на 4, а q2
2
при діленні на 4 дає остачу 2. Отже x  2 px 2 q при ді-
186