Page 185 - 4371

5.59 Нехай радіус кулі дорівнює R см, а радіус циліндра –
r см. Розглянемо переріз утвореного тіла площиною, що
проходить через вісь циліндра і введемо на цій площині
прямокутну декартову систему координат, прийнявши вісь
циліндра за вісь Ox і вибравши початок координат в
центрі циліндра. Об’єм V частини кулі, що залишилась до-
рівнює:
3
V  2  R 2  x 2  dx 6 r 2  2 3R 2  9  6  r 2  6 R 2 r 2   3 .
0
3
Врахуємо, що R 2  r 2  9 , тоді V  36  см .
5.60 Нехай тор одержується обертанням кола
2
2
x  y   d 2  R навколо осі OX ( d  R ); тоді його об’єм
дорівнює
R R
2 2
v      Rd 2  x 2  dx     Rd 2  x 2  dx


R R
R 2 2 R

       Rd 2  x 2    d R 2  x 2  dx  4 d  R 2  x 2 dx 

R   R
заміна  2
2
2
  4 dR 2  cos t dt  2 2 dR .
x  R sin t
  2
6.1 Зауважимо, що x не може бути кратним трьом, оскі-
льки тоді права частина рівності ділилась би на 3, а права –
2
ні. Отже x 3 k 1, тоді x 2  y3 2   k3 1   y3 2  k9 2  k6 
2
 1 3y і ми приходимо до рівності 9k 2  6 k 3y 2  16 ,
яка не виконується ні при яких цілих k і y .
6.2 Припустимо, що при деяких раціональних a, b c ,
виконана рівність
2
 2a 3  b 3 2  c  0. (6.1)
3
Домноживши цю рівність на 2 , одержуємо
2  ba 3 4  c 3 2  0.

185