Page 181 - 4371

За теоремою косинусів:
2
2
2
BC  AB  AC  2 AB AC cos  , звідки
2
2
2
2
2
2
2
AB  AC  BC 2 a  b  a  c  b  c 2 
cos   ,
2 AB AC 2 a  b  a  c 2
2
2
2
тобто
a 2
cos  .
2
2
2
a  b  a  c 2
Як бачимо, sin      cos  ; звідси зразу випливає, що
     90 , що і потрібно було довести.
5.55 Очевидно, площа проекції складається з площ про-
екцій трьох непаралельних граней. Нехай ребра паралеле-
піпеда утворюють з нормаллю до площини проекції кути
 ,   , ; такі ж кути складають грані паралелепіпеда з
площиною проекції. cos  cos,  cos,  можна вважати на-
прямними косинусами вектора нормалі до площини проек-
ції в базисі, складеному з векторів, що співпадають з реб-
рами паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, тому
2
2
2
cos   cos   cos   1,
а площа проекції дорівнює ab cos   bc cos   ac cos  .
Використавши нерівність Коші-Буняковського, маємо
ab cos   bc cos   ac cos  
    ab 2   bc 2   cosac 2 2   cos 2   cos 2   
2 2 2
ac
         .
bc
ab
ab bc ac
Причому рівність досягається, якщо   ,
cos  cos  cos 
або c cos   a cos   b cos  . Остаточно: площа проекції
2 2 2
найбільша і дорівнює         , якщо
bc
ab
ac
cos : cos : cos  1 a 1: b 1: c .
5.56 Спочатку виведемо рівняння площини, яка дотика-
ється до даного еліпсоїда в точці  , yx , z . Еліпсоїд зада-
0 0 0
181