Page 187 - 4371

ленні на 4 теж дає остачу 2 і тому не може дорівнювати
нулю.
Коренем цього рівняння не може бути дробове раціона-
льне число. Дійсно, рівняння можна записати у виді
2 2
x   p  p  2 q . Якщо x – дробове раціональне число,
то x  p теж дробове раціональне число і його квадрат не
2
може дорівнювати цілому числу p  2 q .
6.5 Позначимо x  2  3 , тоді x 2  5  2 6 . Звідси
x 2  5  2 6 і, піднісши до квадрата, отримуємо
x 4  10x 2  25  24. Остаточно
x 4  10x 2  1  0 ,
це і є шукане рівняння.
6.6 Якщо  , yx  – розв’язок першого рівняння, тобто
0 0
2
2
x  y  n , то  , yx , де x  x  y , y  x  y , буде
0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
розв’язком другого рівняння:
2
2
2
2
2
x  y  x  y  x  y   2 x  y 2  2 n .
1 1 0 0 0 0 0 0
І навпаки, якщо  , yx  – розв’язок другого рівняння, то
1 1
2
2
із рівності x  y  2 n випливає, що числа x і y мають
1 1 1 1
однакову парність. Тоді  , yx , де
0 0
x  y x  y
x  1 1 , y  1 1 (зауважимо, що це цілі числа),
0 0
2 2
2
 x  y 
буде розв’язком першого рівняння: x 2  y 2   1 1  
0 0
 2 
2 2 2
 x  y  x  y
  1 1   1 1  n .
 2  2
Побудована таким чином відповідність між роз’язками
двох рівнянь є взаємно однозначною, оскільки очевидно,
що різним розв’язкам одного з рівнянь відповідають різні
розв’язки іншого. Отже ці рівняння мають однакову кіль-
кість розв’язків в цілих числах.
187