Page 188 - 4371

6.7 Нехай всі корені рівняння дійсні; позначимо їх
a , a , (a   a ), а їх кратності k , k ,
1 s 1 s 1 s
3
4
( k   k  5). Нехай   xxf  5  ax  bx  c . Якщо k  1,
1 s i
то a – корінь  xf  кратності k  1, так що сума кратнос-
i i
тей коренів  xf  , які містяться серед a , a , дорівнює
1 s
5  s . Крім того,  xf  має корінь b , який знаходиться
i
між a і a ( всього не менше, ніж s 1 таких коренів ), і
i 1  i
якщо хоча б один корінь b кратний, то сума кратностей
i
коренів  xf  буде не менше, ніж 5 s  s  5 , що немо-
жливо оскільки  xf  многочлен четвертого степеня. От-
же, всі кратні корені  xf  містяться серед a , a , . З дру-
1 s
гого боку, 0 – корінь  xf  кратності 2 і не корінь  xf –
суперечність. Таким чином, рівняння має хоча б один ком-
плексний корінь a  bi , де b  0. Але тоді і a  bi – теж
корінь цього рівняння.
6.8 Якщо A  B  0, тобто A 2  B 2  0 , то рівняння
x 4  1  0 не має дійсних коренів. Якщо ж A  , 1 B  0 ,
тобто A 2  B 2  1, рівняння x 4  x 3  x  1  0 має очевид-
ний дійсний корінь x  1. Отже, існує S   ,0  1 таке, що
0
2
2
при A  B  S рівняння не має дійсних коренів, а при
0
2
2
A  B  S вони з’являються. Зауважимо, що дане рів-
0
няння може мати тільки парну кількість дійсних коренів,
оскільки в силу симетричності разом з коренем x воно
0
1
має також корінь . З другого боку, в силу неперервної
x
0
незалежності коренів рівняння від його коефіцієнтів, при
2
2
A  B  S у рівняння не можуть з’явитися зразу два різ-
0
них дійсних корені. Це приводить до висновку, що при
188